6.1 Discrete Random Variables

一、核心概念 / Core Concepts

1. 随机变量 / Random Variable

随机变量是一个变量，其值依赖于随机事件的结局。用大写字母表示，如X或Y。

A random variable is a variable whose value depends on the outcome of a random event. Denoted by uppercase letters, such as X or Y.

数学表示 / Mathematical Notation：

随机变量：\(X, Y, Z\)

取值：\(x, y, z\)

概率：\(P(X = x)\)

2. 样本空间 / Sample Space

随机变量可能取值的集合称为样本空间。

The range of values that a random variable can take is called its sample space.

特征 / Characteristics：由随机变量的可能取值决定

Sample Space：Set of all possible values the variable can take

3. 离散随机变量 / Discrete Random Variable

如果变量只能取某些特定数值，则称其为离散随机变量。

A variable is discrete if it can take only certain numerical values.

样本空间特征 / Sample Space Characteristics：有限个或可列无限个值

随机性特征 / Randomness Characteristics：结果在实验前未知

4. 概率分布 / Probability Distribution

概率分布完全描述了样本空间中任何结果的概率。

A probability distribution fully describes the probability of any outcome in the sample space.

表示方式 / Representation：概率函数、表格、图表

离散均匀分布 / Discrete Uniform Distribution：所有概率相等的情况

二、重要公式 / Important Formulas

随机变量概率公式 / Random Variable Probability Formulas

1. 随机变量概率 / Random Variable Probability

\[P(X = x)\]

随机变量X取值为x的概率。

The probability that random variable X takes value x.

2. 概率总和 / Sum of Probabilities

\[\sum P(X = x) = 1\]

随机变量所有可能取值的概率之和等于1。

The sum of probabilities for all possible values of a random variable equals 1.

3. 概率分布表示 / Probability Distribution Representation

\[P(X = x) = \frac{1}{6}, \quad x = 1, 2, 3, 4, 5, 6\]

骰子点数的均匀分布示例。

Example of uniform distribution for dice scores.

三、建立概率分布的步骤 / Steps for Establishing Probability Distribution

建立离散随机变量概率分布的步骤 / Steps for Establishing Probability Distribution of Discrete Random Variables

步骤1：识别实验和随机变量
Step 1: Identify the experiment and random variable
确定要研究的随机现象和相应的随机变量。
步骤2：确定样本空间
Step 2: Determine the sample space
列出随机变量所有可能取的值。
步骤3：计算每个取值的概率
Step 3: Calculate probability for each value
使用概率规则计算每个可能取值的概率。
步骤4：建立概率分布表
Step 4: Create probability distribution table
将所有取值和对应概率整理成表格形式。
步骤5：验证概率总和
Step 5: Verify sum of probabilities
确认所有概率之和等于1。

四、经典例子 / Classic Examples

典型实验示例 / Typical Experiment Examples

骰子实验 / Dice Experiments：掷一枚或多枚骰子，研究点数分布
硬币实验 / Coin Experiments：掷一枚或多枚硬币，研究正面出现次数
偏斜骰子 / Biased Dice：非均匀概率分布的处理
旋转器实验 / Spinner Experiments：条件概率和序列实验

五、练习题类型 / Exercise Types

常见练习题类型 / Common Exercise Types

判断变量类型：确定变量是否为离散随机变量
建立概率分布表：根据实验建立完整的概率分布
计算概率值：使用分布表计算特定事件的概率
求未知参数：根据概率总和等于1求未知常数
验证分布性质：确认概率分布的有效性

六、重要提示 / Important Tips

学习与应用要点 / Key Points for Learning and Application

概念理解：深刻理解随机变量、样本空间和概率分布的关系。
Conceptual Understanding: Deeply understand the relationship between random variables, sample space, and probability distributions.
概率验证：始终验证概率分布是否满足基本性质。
Probability Verification: Always verify that probability distributions satisfy basic properties.
实验设计：在实际问题中，选择合适的随机变量来建模。
Experiment Design: When dealing with practical problems, choose appropriate random variables for modeling.
理论与实际：理解理论模型与实际观测之间的差异。
Theory vs Practice: Understand the differences between theoretical models and actual observations.